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大学入学共通テスト(2021年)解答、その2

  • 2021/02/10

富士産業有限会社、下代勝レポート。

 

前回の続きを解いてみました。

 

問題(添付写真):右の図のように、△ABCの外側に辺AB、BC、CAをそれぞれ1辺とする正方形ADEB、BFGC、CHIAをかき、2点EとF、GとH、IとDをそれぞれ線分で結んだ図形を考える。以下において

 

BC=a、CA=b、AB=c

∠CAB=A、ABC=B、BCA=C

とする。

 

(1)b=6、c=5、 cosA=3/5(5分の3)のとき、sinA=4/5(5分の4)であり、ABCの面積は12、AIDの面積は12である。(前回の解答)

 

(2)正方形BFGC、CHIA、ADEBの面積をそれぞれS1、S2、S3とする。

このとき、S1-S2-S3は

・0°<A<90°のとき、負の値である。

・A=90°のとき、0である。

・90°<A<180°のとき、正の値である。(前回の解答)

 

前回は、ここまで。

 

(3)△AID、△BEF、△CGHの面積をそれぞれT1、T2、T3とする。このとき、『ヌ』である。

 

『ヌ』の解答群

@a<b<cならば、T1>T2>T3

①a<b<cならば、T1<T2<T3

②Aが鈍角ならば、T1<T2かつT1<T3

③a、b、cの値に関係なく、T1=T2=T3

 

〈解答〉

添付写真の図1(参考図)の赤線の通り、△ABCの面積とT1、T2、T3がそれぞれ等しい(底辺と高さが等しい)事が証明できる。

よって、『ヌ』の答えは『③』

 

(4)△ABC、△AID、△BEF、△CGHのうち、外接円の半径が最も小さいものを求める。

0゜<A<90゜のとき、ID『ネ』BCであり

(△AIDの外接円の半径)『ノ』(△ABCの外接円の半径)

であるから、外接円の半径が最も小さい三角形は

・0゜<A<B<C<90゜のとき、『ハ』である。

・0゜<A<B<90゜<Cのとき、『ヒ』である。 

 

『ネ』『ノ』の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

@<

①=

②>

 

『ハ』『ヒ』の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

@△ABC

①△AID

②△BEF

③△CGH 

 

〈解答〉

添付写真の図2の通り、図のID>BC。

よって、『ネ』の答えは『②』

 

同じく、△AIDの外接円の半径(図2の赤色の円に近いイメージ)ABCの外接円の半径(図2の緑色の円)

よって、『ノ』の答えは『②』

 

0゜<A<B<C<90゜のとき、添付写真の図2では、ABC=JKLなので、外接円の半径が最も小さい三角形はABC(JKMやJKNの外接円が緑色の外接円より大きいのは明らか)

よって、『ハ』の答えは『@』

 

0゜<A<B<90゜<Cのとき、添付写真の図4で見ると、外接円の半径が最も小さい三角形は、CGH

よって、『ヒ』の答えは、『③』 以上。

 

解答のコツは、90゜<Cという条件ならば、出来るだけCを広げて添付写真の図4のように作図すれば、一目で答えが出ます。

 

 

試験会場での解答としては、時間もない事ですし、これで十分だと思います。

 

大学入学共通テスト(2021年)を解いてみようと思ったのは、

【1】コロナ禍による教育環境の激変で、学びの志を抱きながらも学校に行けない人に、何か学びのツールを提供出来ないか?と考えた事。

【2】文部科学省が提示している、「小中教科書中間骨子」で、紙の教科書に替わって(または併用して)、デジタル教科書の採用が議論されています。文部科学省の真意も図りかねるので、これからの学びの方法を色々試してみよう、と思った事。

【3】大学入試センター試験に替わって、2021年大学入学共通テストが実施され、知識偏重から思考力・判断力重視となり、色々な人がそれぞれの解法を持ち寄った方が、学習の幅が広がる、と思い付いた事。

 

その思いを込めて、以下に解答の説明(証明)を載せますが、簡略化したつもりでも我ながら煩雑ですね。

 

この手の説明には、YouTubeが良いのでは?とも思います。出来ればトライしてみたいものです。

YouTubeを始めるような事が有りましたら、このブログでご案内差し上げたいと思います。その際には、また宜しくお願い申し上げます。

 

 

 

〈解答の説明〉

設問(3)について

△ABCの面積=AIDの面積(T1)……設問(1)より

△ABCの面積=BEFの面積(T2)

なぜなら、△APBとEQBが同じ三角形(添付写真の図1、辺BA=辺BE)なので、ABCとBEFは、底辺BC=底辺FB、高さAP=高さEQ

△ABCの面積=CGHの面積(T3)(添付写真の図1、CPAとCRHは同じ三角形;合同、以下同様)

 

よって、常にa、b、cの値に関係なく、T1=T2=T3

 

設問(4)について

△AID、BEF、CGHは、ABCと面積が等しく(設問3より)、それぞれABCと同じ長さの辺を持っている(同じ正方形の辺)。

そのため、同じ辺を共通の底辺とすれば、形の如何に関係なく、高さが等しい(三角形の面積は底辺×高さ÷2)。

 

添付写真の図2で説明すると、三角形LJKの底辺JKと同じ底辺を持ち、かつ面積が等しい三角形の頂点は、常に高さが等しいので直線NM上にある。

 

また、△AID、BEF、CGHは、ABCと底辺以外のもう一つの辺の長さも等しい(二辺において、それぞれ共通する正方形の辺)。 

添付写真の図2で説明すると、三角形LJKと底辺JKを共有し、他の一辺の長さも同じで面積も同じ三角形は、

点Kを中心とする半径KLの円と直線NMの交点Mを頂点とする三角形JKM(KLMは二等辺三角形、図3参照)。

又は、同様に点Jを中心とする半径JLの円と直線NMの交点Nを頂点とする三角形JKN(JNLは二等辺三角形) 。

 

ここで、図2の∠○、∠▽

に着目すると、

∠JKL=90゜-∠○

∠JKM=90゜+∠○

よって∠JKL+JKM=180゜

同じく、

∠KJL=90゜-∠▽

∠KJN=90゜+∠▽

よって KJL+KJN=180 ゜

これは、図1(参考図)の

∠BAC+DAI=180゜(360゜から正方形の直角2つCAIとIADを引いた角度)と合致して、作図の正しさが確かめられる。

 

解答の説明は以上です。

 

正弦定理、余弦定理の暗記だけを強いる問題ではないという事は言えそうです。

お疲れ様でした~。

YouTube勉強してみます。