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大学入学共通テストを解いてみました。

  • 2021/01/25

富士産業有限会社、下代勝レポート。

今年度から、大学入試センター試験に替わって、大学入学共通テストが実施されました。
暗記に頼らず、思考力や判断力などを試す内容になっているとの事。1問解いてみました。

先ず今回の数学の問題を解くに当たって、知識をまとめてみます。添付写真ご参照下さい。

《知識のまとめ》
〈1〉三角形の面積は底辺×高さ÷2(添付写真の図2)。
〈2〉三角形の3つの内角の和は180°(添付写真の図5)。
〈3〉直角三角形の斜辺を一辺とする正方形の面積は、残りの2辺をそれぞれ一辺とする正方形の面積の和に等しい《三平方の定理》。
綺麗な整数になるのは、斜辺が5で、残りの辺が3と4又は4と3の比率のときのみ(添付写真の図6)。
式:5×5=4×4+3×3
〈4〉cos、sin はCとSの筆記体の書き方で覚える。(添付写真の図3)
〈5〉形が同じ三角形は、辺の長さが同じだと、面積も同じ。
〈6〉平行な直線に交わる直線は、角度が同じ角を作る(添付写真の図4)。

それでは、問題(添付写真)を解いていきます。

問題:右の図のように、△ABCの外側に辺AB、BC、CAをそれぞれ1辺とする正方形ADEB、BFGC、CHIAをかき、2点EとF、GとH、IとDをそれぞれ線分で結んだ図形を考える。以下において

BC=a、CA=b、AB=c
∠CAB=A、∠ABC=B、∠BCA=C

とする。

(1)b=6、c=5、 cosA=3/5(5分の3)のとき、sinA=「セ」/「ソ」(ソ分のセ)であり、△ABCの面積は「タチ」、△AIDの面積は「ツテ」である。

先ず、設問(1)を解いてみます。

設問(1)が問題としている三角形は、《知識のまとめ》の〈4〉を思い出して、図(添付写真の図3)を描くと、斜辺5、残りの辺が4と3の直角三角形である事がわかります。
よって、高さは4。答えは、sinA=4/5。
△ABCの面積は6×4÷2=12(底辺AC×高さ4÷2)。
△AIDの面積は、△ABCと比べて底辺も高さも等しいから(添付写真の図1の赤線)、同じく12。

《知識のまとめ》の〈1〉〈2〉〈5〉〈6〉を使いました。
(赤の点線の二つの直角三角形は、残りの内角∠○、∠Χも等しく、斜辺BA=DAなので、同じ三角形。よって、△ABCと△AIDの高さが同じで、底辺もAC=AI)

同じように、他の△BEFの面積、△CGHの面積も、△ABCの面積と同じだと気付きます。

(2)正方形BFGC、CHIA、ADEBの面積をそれぞれS1、S2、S3とする。

このとき、S1-S2-S3は

・0°<A<90°のとき、『ト』
・A=90°のとき、『ナ』
・90°<A<180°のとき、『ニ』

『ト』~『ニ』の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

@ 0である
 正の値である
 負の値である
 正の値も負の値もとる

調子に乗って、設問(2)も解いてみます。

《知識のまとめ》の〈3〉のお話。

直角三角形において、斜辺を一辺とする正方形の面積S1=S2+S3なので、
A=90°のとき、S1-S2-S3=0『ナの答えは@』。

直角三角形の直角Aが狭まる(0°<A<90°)と、S1の一辺が短くなっていき、S1の面積が小さくなる(S1<S2+S3)。
よって、答え;0°<A<90°のとき、S1-S2-S3=負の値『トの答えは②』。
直角三角形の直角Aが広がる(90°<A<180°)と、今度は逆にS1の面積が大きくなる(S1>S2+S3)。よって答え;90°<A<180°のとき、S1-S2-S3=正の値『ニの答えは①』。

如何だったでしょうか?
問題をよんで、丁寧に図をかいて順序よく解いていくと、難しい公式などは無くても解けるとは思います。
「知識偏重」という批判に答えているように、自分には思えました。
それでも、短い時間で解答を探すことを強いられる受験生は大変ですね。

今回取り上げた問題には、本当は、設問(3)、設問(4)もあります。
周囲の反応を聞きながら、続きを解くかどうか、また考えてみます。